L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

exo7 2604

Soit θ∈R\theta\in \R, on considère l’endomorphisme ff de R3\R^3 dont la matrice dans la base canonique est la suivante A=(cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001).A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0 \\ \sin\theta&\cos\theta&0 \\ 0&0&1 \\ \end{pmatrix}.

1

Quelle est la nature géométrique de cet endomorphisme ?

2

Démontrer que, pour tout θ∈R∖πZ\theta\in\R\setminus\pi\Z, la matrice AA admet une unique valeur propre réelle. Quel est le sous-espace propre associé ? Que se passe-t-il si θ∈πZ\theta\in\pi\Z ?

Exercice mzVb

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