Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
1
Montrer que le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(a\) et stable par \(f\) est \(F_a=\text{vect}\left\{f^k(a):k\in\Nn\right\}\).
2
Montrer que si \(\dim(E)=n\) alors \(F_a=\text{vect}\left\{f^k(a):k=0,...,n-1\right\}.\)
3
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice \(A=\left( \begin{smallmatrix} 1&1&-1\\ -2&-2&2\\ 1&1&-1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)\). Montrer qu’il n’existe pas \(a\in \Rr^3\) tel que \(F_a=\Rr^3.\) Généraliser à un endomorphisme diagonalisable.