L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

exo7 1723

Soit le R\Rr-espace vectoriel S={(un)n∈N∈RN:∀n≥3,un=3un−1−3un−2+un−3}.\mathcal{S}=\left\{ (u_n)_{n\in\Nn}\in \Rr^{\Nn}:\forall n\ge 3, u_n=3u_{n-1}-3u_{n-2}+u_{n-3} \right\}.

1

Montrer que l’application f:S→R3,u=(un)n∈N↦(u0,u1,u2){f: \mathcal{S}\to \Rr^3, u=(u_n)_{n\in\Nn}\mapsto(u_0,u_1,u_{2})} est un isomorphisme de R\Rr-espace vectoriels.

2

Soient la matrice A=(0100011−33)∈M3(R),A= \left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&-3&3 \end{smallmatrix}\right)\in \mathcal{M}_3(\Rr) , σ∈L(R3)\sigma\in\mathcal{L}(\Rr^3) l’endomorphisme canoniquement associé à AA et, pour n≥2,n\ge 2, Un=(un−2,un−1,un)∈R3U_n=(u_{n-2},u_{n-1},u_{n})\in \Rr^3. Montrer que σ(Un−1)=Un\sigma(U_{n-1})=U_n et en déduire une base de S\mathcal{S}.

Exercice IsdB

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