Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel \[\mathcal{S}=\left\{ (u_n)_{n\in\Nn}\in \Rr^{\Nn}:\forall n\ge 3, u_n=3u_{n-1}-3u_{n-2}+u_{n-3} \right\}.\]
1
Montrer que l’application \[{f: \mathcal{S}\to \Rr^3, u=(u_n)_{n\in\Nn}\mapsto(u_0,u_1,u_{2})}\] est un isomorphisme de \(\Rr\)-espace vectoriels.
2
Soient la matrice \(A= \left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&-3&3 \end{smallmatrix}\right)\in \mathcal{M}_3(\Rr) ,\) \(\sigma\in\mathcal{L}(\Rr^3)\) l’endomorphisme canoniquement associé à \(A\) et, pour \(n\ge 2,\) \(U_n=(u_{n-2},u_{n-1},u_{n})\in \Rr^3\). Montrer que \(\sigma(U_{n-1})=U_n\) et en déduire une base de \(\mathcal{S}\).