Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on considère l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base canonique \(\{e_{ij},i,j=1,2, \ldots, n \}\) est la matrice \(A=\left ( \alpha _{i,j}\right )\) où \(\alpha _{i,j}=a_ia_j\).
1
Déterminer le noyau et l’image de \(u\).
2
En déduire les sous-espaces propres de \(u\). Déterminer les valeurs propres de \(u\). L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?
3
Quel est le polynôme caractéristique de \(u\)?