Pour \(\sigma\in S_n\), \(n\geqslant 2\), on définit la matrice \(P_\sigma\) par \(P_\sigma=(\delta_{i,\sigma(j)})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\).
1
Calculer \(\text{det}(P_\sigma)\) pour tout \(\sigma\in S_n\).
2
Montrer que \(\forall(\sigma,\sigma')\in S_n^2\), \(P_\sigma\times P_{\sigma'}=P_{\sigma\circ\sigma'}\).
3
On pose \(G=\{P_\sigma,\;\sigma\in S_n\}\). Montrer que \((G,\times)\) est un groupe isomorphe à \(S_n\).