Si $A$ est nilpotente, pour tout $k\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $A^k$ est nilpotente et donc $0$ est l’unique valeur propre dans $\Cc$ de $A^k$ . Par suite, $\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $\text{Tr}(A^k) = 0$ .

Réciproquement , supposons que $\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $\text{Tr}(A^k) = 0$ et montrons alors que toutes les valeurs propres de $A$ dans $\Cc$ sont nulles. Ceci montrera que le polynôme caractéristique de $A$ est $(-X)^n$ et donc que $A$ est nilpotente d’après le théorème de Cayley-Hamilton.

Soient $\lambda_1$ ,..., $\lambda_n$ les $n$ valeurs propres (distinctes ou confondues) de $A$ dans $\Cc$ . Pour $k\in\llbracket1,n\rrbracket$ , on pose $S_k =\lambda_1^k+...+\lambda_n^k$ . Il s’agit de montrer que : $(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,\;S_k =0)\Rightarrow(\forall j\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\lambda_j =0)$ .

1ère solution. Les $S_k$ , $1\leqslant k\leqslant n$ , sont tous nuls et par combinaisons linéaires de ces égalités, on en déduit que pour tout polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ et s’annulant en $0$ , on a $P(\lambda_k) = 0$ (1). Il s’agit alors de bien choisir le polynôme $P$ .

Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ . Soient $\mu_1$ ,..., $\mu_p$ les valeurs propres deux à deux distinctes de $A$ ( $1\leqslant p\leqslant n$ ). On prend $P =X\prod_{j\neq i}^{}(X-\mu_j)$ si $p\geqslant2$ et $P = X$ si $p = 1$ . $P$ est bien un polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ et s’annule en $0$ . L’égalité $P(\lambda_i)=0$ fournit $\lambda_i = 0$ ce qu’il fallait démontrer.

2ème solution. Pour ceux qui savent que les sommes de Newton $S_k$ sont liées aux fonctions élémentaires en les $\lambda_i$ $\sigma_1$ ,..., $\sigma_n$ par les formules de Newton :

$\forall k\leqslant n$ , $S_k -\sigma_1S_{k-1}+...+(-1)^{k-1}\sigma_{k-1}S_1+ (-1)^kk\sigma_k = 0$ .

Par suite, si tous les $S_k$ , $1\leqslant k\leqslant n$ , sont nuls alors immédiatement tous les $\sigma_k$ , $1\leqslant k\leqslant n$ , sont nuls et donc les $\lambda_i$ sont nuls car tous racines de l’équation $x^n = 0$ .

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