L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 3 questions

exo7 1597

Soit m∈Rm \in \R et Am∈M3(R)A_m\in M_3 (\R ) la matrice (m111m111m).\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \cr 1 & m & 1 \cr 1 & 1 & m\cr \end{pmatrix} .

1

Calculer les valeurs propres de AmA_m et une base de vecteurs propres.

2

Déterminer suivant les valeurs de mm le rang de Am.A_m . Déterminer lorsque cela est possible Am−1.A_m^{-1} .

3

Lorsque AmA_m n’est pas inversible déterminer le noyau et l’image de Am.A_m .

Exercice ubV8

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