Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note \({\cal B}=(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)\) une base de \(E\), si \(\vec u\) est un vecteur de \(E\) on note \((x,y,z)\) ses coordonnées dans la base \(\cal B\). Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même, définie par \[\begin{align*} f:E &\longrightarrow E \\ \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}&\longmapsto \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-x+y-z \\ 2x+2z \\ 4x-2y+4z\end{pmatrix} \end{align*}\]
Donner la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \(\cal B\).
Déterminer les sous-espaces \(\ker f\) et \(\Im f\).
Soient \(\vec u_1=(1,0,-1)\), \(\vec u_2=(1,2,0)\) et \(\vec u_3=(0,1,1)\). Démontrer que \((\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)\) est une base de \(E\).
Calculer \(f(\vec u_1)\), \(f(\vec u_2)\) et \(f(\vec u_3)\) et déterminer la matrice \(B\) de \(f\) dans la base \((\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)\).
Déterminer les valeurs propres de \(f\) et, pour chacune, un vecteur propre.