L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 5 questions

exo7 2612

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$ . On note ${\cal B}=(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)$ une base de $E$ , si $\vec u$ est un vecteur de $E$ on note $(x,y,z)$ ses coordonnées dans la base $\cal B$ . Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans lui-même, définie par $\begin{align*} f:E &\longrightarrow E \\ \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}&\longmapsto \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-x+y-z \\ 2x+2z \\ 4x-2y+4z\end{pmatrix} \end{align*}$

Donner la matrice $A$ de $f$ dans la base $\cal B$ .

Déterminer les sous-espaces $\ker f$ et $\Im f$ .

Soient $\vec u_1=(1,0,-1)$ , $\vec u_2=(1,2,0)$ et $\vec u_3=(0,1,1)$ . Démontrer que $(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)$ est une base de $E$ .

Calculer $f(\vec u_1)$ , $f(\vec u_2)$ et $f(\vec u_3)$ et déterminer la matrice $B$ de $f$ dans la base $(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)$ .

Déterminer les valeurs propres de $f$ et, pour chacune, un vecteur propre.