L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 5 questions

exo7 3557

Soit $E$ un $\C$ -ev de dimension $n\in\N^*$ et $u_1,\dots,u_p$ ( $p\ge 2$ ) des endomorphismes de $E$ vérifiant : $\forall\ k,\ u_k^2 = -\mathrm{id}_E, \quad\forall\ k\ne\ell,\ u_k\circ u_\ell = -u_\ell\circ u_k.$

Montrer que les $u_k$ sont des automorphismes et qu’ils sont diagonalisables.

Montrer que $n$ est pair.

Donner le spectre de chaque $u_k$ .

Donner les ordres de multiplicité des valeurs propres des $u_k$ .

Calculer $\det(u_k)$ .