Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension \(n\in\N^*\) et \(u_1,\dots,u_p\) (\(p\ge 2\)) des endomorphismes de \(E\) vérifiant : \[\forall\ k,\ u_k^2 = -\mathrm{id}_E, \quad\forall\ k\ne\ell,\ u_k\circ u_\ell = -u_\ell\circ u_k.\]
1
Montrer que les \(u_k\) sont des automorphismes et qu’ils sont diagonalisables.
2
Montrer que \(n\) est pair.
3
Donner le spectre de chaque \(u_k\).
4
Donner les ordres de multiplicité des valeurs propres des \(u_k\).
5
Calculer \(\det(u_k)\).