L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 1654

Soit $f \in \mathcal{L} (\R ^3)$ déterminée par sa matrice $M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \cr 1 & 1 & 1 \cr -1 & 1 & 1 \cr \end{pmatrix}$ dans une base $\{ e_1, e_2,e_3\}$ de $\R ^3 .$

Montrer que $M$ est diagonalisable.

Montrer que la restriction de $f$ a tout sous-espace stable est diagonalisable.

En déduire tous les sous-espaces de $\R ^3$ stables par $f .$