Calculons \((A-I)^2\) et démontrons que \(A^n=nA+(1-n)I\).

On calcule d’abord la matrice \(A-I\), \[A-I=\begin{pmatrix}2&2&-2 \\ -1&-1&1 \\ 1&1&-1 \\ \end{pmatrix},\] puis la matrice \((A-I)^2\), \[(A-I)^2=\begin{pmatrix}2&2&-2 \\ -1&-1&1 \\ 1&1&-1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&2&-2 \\ -1&-1&1 \\ 1&1&-1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ \end{pmatrix},\] c’est donc la matrice nulle.

Nous allons donner deux méthodes pour démontrer que \(A^n=nA+(1-n)I\).

Première méthode : En utilisant le binôme de Newton. On écrit \(A^n=(A-I+I)^n\), or, les matrices \(A-I\) et \(I\) commutent, on a donc \[(A-I+I)^n=\sum_{k=0}^nC_n^k(A-I)^kI^{(n-k)}=C_n^0I+C_n^1(A-I)=I+n(A-I)=nA+(1-n)I.\] Deuxième méthode : Par récurrence sur \(n\). Le résultat est vrai pour \(n=0\) et \(n=1\). Fixons \(n\) arbitrairement pour lequel on suppose que \(A^n=nA+(1-n)I\), on a alors \[A^{n+1}=A(nA+(1-n)I)=nA^2+(1-n)A,\] sachant que \((A-I)^2=0\), on en déduit que \(A^2=2A-I\) ainsi \[A^{n+1}=n(2A-I)+(1-n)A=(n+1)A-nI=(n+1)A+(1-(n+1))I.\] L’égalité est donc vraie pour tout \(n\in\N\).

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