Calculons $(A-I)^2$ et démontrons que $A^n=nA+(1-n)I$ .

On calcule d’abord la matrice $A-I$ , $A-I=\begin{pmatrix}2&2&-2 \\ -1&-1&1 \\ 1&1&-1 \\ \end{pmatrix},$ puis la matrice $(A-I)^2$ , $(A-I)^2=\begin{pmatrix}2&2&-2 \\ -1&-1&1 \\ 1&1&-1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&2&-2 \\ -1&-1&1 \\ 1&1&-1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ \end{pmatrix},$ c’est donc la matrice nulle.

Nous allons donner deux méthodes pour démontrer que $A^n=nA+(1-n)I$ .

Première méthode : En utilisant le binôme de Newton. On écrit $A^n=(A-I+I)^n$ , or, les matrices $A-I$ et $I$ commutent, on a donc $(A-I+I)^n=\sum_{k=0}^nC_n^k(A-I)^kI^{(n-k)}=C_n^0I+C_n^1(A-I)=I+n(A-I)=nA+(1-n)I.$ Deuxième méthode : Par récurrence sur $n$ . Le résultat est vrai pour $n=0$ et $n=1$ . Fixons $n$ arbitrairement pour lequel on suppose que $A^n=nA+(1-n)I$ , on a alors $A^{n+1}=A(nA+(1-n)I)=nA^2+(1-n)A,$ sachant que $(A-I)^2=0$ , on en déduit que $A^2=2A-I$ ainsi $A^{n+1}=n(2A-I)+(1-n)A=(n+1)A-nI=(n+1)A+(1-(n+1))I.$ L’égalité est donc vraie pour tout $n\in\N$ .

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