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On considère le polynôme défini par : $\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i$ avec $\alpha_0 > 0$ et $\alpha_i \ge 0$ pour $1 \le i \le n-1$ .

Montrer qu’il existe une unique racine dans $\R^{+*}$ pour $P_n$ .

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &\dots &0 \cr 2 &0 &1 &\ddots &\vdots \cr \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0 \cr \vdots &\vdots & &\ddots &1 \cr n &0 &\dots &\dots &0 \cr\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ admet une unique valeur propre réelle strictement positive.

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