On considère le polynôme défini par : \(\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i\) avec \(\alpha_0 > 0\) et \(\alpha_i \ge 0\) pour \(1 \le i \le n-1\).
1
Montrer qu’il existe une unique racine dans \(\R^{+*}\) pour \(P_n\).
2
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &\dots &0 \cr 2 &0 &1 &\ddots &\vdots \cr \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0 \cr \vdots &\vdots & &\ddots &1 \cr n &0 &\dots &\dots &0 \cr\end{pmatrix}\). Montrer que \(A\) admet une unique valeur propre réelle strictement positive.