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Soit \(J=\left( \begin{smallmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\[.5ex] \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{smallmatrix}\right)\) et \(A= \begin{pmatrix} 0 &\vline& J \\ \hline J &\vline&0 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^{2}\), puis \(A^{3}\). A l’aide d’un polynôme annulateur de \(A\), montrer que \(A\) est diagonalisable.
Sans chercher à calculer le polynôme caractéristique de \(A\), donner un ensemble fini contenant toutes les valeurs propres de \(A\), puis donner les valeurs valeurs propres elles mêmes ainsi que leurs multiplicités. En déduire le polynôme caractéristique de \(A\).