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Soit $J=\left( \begin{smallmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\[.5ex] \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{smallmatrix}\right)$ et $A= \begin{pmatrix} 0 &\vline& J \\ \hline J &\vline&0 \end{pmatrix}$. Calculer $A^{2}$, puis $A^{3}$. A l’aide d’un polynôme annulateur de $A$, montrer que $A$ est diagonalisable.

Sans chercher à calculer le polynôme caractéristique de $A$, donner un ensemble fini contenant toutes les valeurs propres de $A$, puis donner les valeurs valeurs propres elles mêmes ainsi que leurs multiplicités. En déduire le polynôme caractéristique de $A$.