L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa BCPST 2 questions

exo7 2474

Soit $A, B$ deux matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients complexes qui commutent ( $AB = BA$ ). On suppose en outre que toutes les valeurs propres de $B$ sont distinctes.

Montrer que tout vecteur propre de $B$ est vecteur propre de $A$ .

Montrer que $A$ est de la forme $A = P(B)$ , où $P$ est un polynôme de $\C[X]$ de degré inférieur ou égal à $n-1$ .