(Si les \(a_k\) sont réels, la matrice \(A\) est symétrique réelle et les redoublants savent que la matrice \(A\) est diagonalisable.)

Si tous les \(a_k\), \(1\leqslant k\leqslant n-1\), sont nuls la matrice \(A\) est diagonalisable car diagonale.

On suppose dorénavant que l’un au moins des \(a_k\), \(1\leqslant k\leqslant n-1\), est non nul. Dans ce cas, \(\text{rg}A = 2\).

\(0\) est valeur propre d’ordre \(n-2\) au moins. Soient \(\lambda\) et \(\mu\) les deux dernières valeurs propres. On a

\(\lambda +\mu=\text{Tr}A=a_n\) et \(\lambda^2 +\mu^2=\text{Tr}(A^2)=\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2+\sum_{k=1}^{n}a_k^2 = 2\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 +a_n^2\).

\(\lambda\) et \(\mu\) sont solutions du système \(\left\{ \begin{array}{l} \lambda+\mu=a_n\\ \lambda^2+\mu^2=2\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 +a_n^2 \end{array} \right.\) qui équivaut au système \(\left\{ \begin{array}{l} \lambda+\mu=a_n\\ \lambda^2+\mu^2=-\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 \end{array} \right.\) \((S)\).

On a alors les situations suivantes :

Si \(\lambda\) et \(\mu\) sont distincts et non nuls, \(A\) est diagonalisable car l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous-espace propre correspondant.

Si \(\lambda\) ou \(\mu\) est nul, \(A\) n’est pas diagonalisable car l’ordre de multiplicité de la valeur propre \(0\) est différent de \(n-2\), la dimension du noyau de \(A\).

Si \(\lambda=\mu\neq 0\), \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\text{rg}(A-\lambda I) = n-2\) mais on peut noter que si \(\lambda\) n’est pas nul, on a toujours \(\text{rg}(A-\lambda I)= n-1\) en considérant la matrice extraite formée des n-1 premières lignes et colonnes.

En résumé, la matrice \(A\) est diagonalisable si et seulement si le système \((S)\) admet deux solutions distinctes et non nulles.

Mais \(\lambda\) et \(\mu\) sont solutions du système \((S)\) si et seulement si \(\lambda\) et \(\mu\) sont les racines de l’équation \((E)\) : \(X^2 - a_nX- \sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 = 0\). Par suite, \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 = 0\) et \(\Delta= a_n^2+4\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2\neq0\).

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