(Si les $a_k$ sont réels, la matrice $A$ est symétrique réelle et les redoublants savent que la matrice $A$ est diagonalisable.)

Si tous les $a_k$ , $1\leqslant k\leqslant n-1$ , sont nuls la matrice $A$ est diagonalisable car diagonale.

On suppose dorénavant que l’un au moins des $a_k$ , $1\leqslant k\leqslant n-1$ , est non nul. Dans ce cas, $\text{rg}A = 2$ .

$0$ est valeur propre d’ordre $n-2$ au moins. Soient $\lambda$ et $\mu$ les deux dernières valeurs propres. On a

$\lambda +\mu=\text{Tr}A=a_n$ et $\lambda^2 +\mu^2=\text{Tr}(A^2)=\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2+\sum_{k=1}^{n}a_k^2 = 2\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 +a_n^2$ .

$\lambda$ et $\mu$ sont solutions du système $\left\{ \begin{array}{l} \lambda+\mu=a_n\\ \lambda^2+\mu^2=2\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 +a_n^2 \end{array} \right.$ qui équivaut au système $\left\{ \begin{array}{l} \lambda+\mu=a_n\\ \lambda^2+\mu^2=-\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 \end{array} \right.$ $(S)$ .

On a alors les situations suivantes :

Si $\lambda$ et $\mu$ sont distincts et non nuls, $A$ est diagonalisable car l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous-espace propre correspondant.

Si $\lambda$ ou $\mu$ est nul, $A$ n’est pas diagonalisable car l’ordre de multiplicité de la valeur propre $0$ est différent de $n-2$ , la dimension du noyau de $A$ .

Si $\lambda=\mu\neq 0$ , $A$ est diagonalisable si et seulement si $\text{rg}(A-\lambda I) = n-2$ mais on peut noter que si $\lambda$ n’est pas nul, on a toujours $\text{rg}(A-\lambda I)= n-1$ en considérant la matrice extraite formée des n-1 premières lignes et colonnes.

En résumé, la matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si le système $(S)$ admet deux solutions distinctes et non nulles.

Mais $\lambda$ et $\mu$ sont solutions du système $(S)$ si et seulement si $\lambda$ et $\mu$ sont les racines de l’équation $(E)$ : $X^2 - a_nX- \sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 = 0$ . Par suite, $A$ est diagonalisable si et seulement si $\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2 = 0$ et $\Delta= a_n^2+4\sum_{k=1}^{n-1}a_k^2\neq0$ .

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