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Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice \(n\times n\) telle que \(A^{n}=0\) et \(A^{n-1}\ne 0.\) Soit \(x_0\) un vecteur de \(\Rr^{n}\) tel que \(A^{n-1}x_0\ne 0.\) Montrer que \((x_0,Ax_0,A^{2}x_0,\cdots,A^{n-1}x_0)\) est une base de \(\Rr^{n}.\) Comment s’écrit la matrice \(A\) dans cette base ?
Application : on pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\-1&-1&-1\\ -1&0&-1\end{array}\right).\) Calculer \(A^{3}\) et donner une base de \(\Rr^{3}\) dans laquelle \(A\) a une forme simple.