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Soit $n$ un entier strictement supérieur à 1. Soit $A$ une matrice $n\times n$ telle que $A^{n}=0$ et $A^{n-1}\ne 0.$ Soit $x_0$ un vecteur de $\Rr^{n}$ tel que $A^{n-1}x_0\ne 0.$ Montrer que $(x_0,Ax_0,A^{2}x_0,\cdots,A^{n-1}x_0)$ est une base de $\Rr^{n}.$ Comment s’écrit la matrice $A$ dans cette base ?

Application : on pose $A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\-1&-1&-1\\ -1&0&-1\end{array}\right).$ Calculer $A^{3}$ et donner une base de $\Rr^{3}$ dans laquelle $A$ a une forme simple.