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Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et \(A\) la matrice suivante : \[A=\begin{pmatrix} 1 & -\alpha & -\alpha & 1 \\ 1-\beta & \alpha & \alpha-1 & -\beta \\ \beta & -\alpha & 1-\alpha & 1+\beta \\ 0 & \alpha & \alpha & 0 \end{pmatrix}\] A quelle condition sur \(\alpha\) et \(\beta\), \(A\) est-elle diagonalisable ?
On suppose \(\alpha=0\) et \(\beta=0\). Vérifier que \(A(A-I)=0\). En déduire \(A^{n}\) et \((A+I)^{-1}\) .