On démontre que \(A\) est diagonalisable et on détermine une matrice \(D\) diagonale et une matrice \(P\) inversible telles \(A=PDP^{-1}\).

Le polynôme \(P_A\) admet deux racines, donc la matrice \(A\) admet deux valeurs propres, \(\lambda_1=2\), valeur propre simple et \(\lambda_2=4\), valeur propre double. Déterminons les sous-espaces propres associés.

Notons \(E_1=\{\vec V=(x,y,z)/ A\vec V=2\vec V\}\), on résout alors le système \[\left\{\]\[\begin{aligned} 3x-z&=2x \\ 2x+4y+2z&=2y \\ -x+3z&=2z\end{aligned}\]\[\right.\iff\left\{\]\[\begin{aligned} z&=x \\ y&=-2x\end{aligned}\]\[\right.\] Le sous-espace propre \(E_1\) associé à la valeur propre \(2\) est une droite vectorielle, dont un vecteur directeur est \(\vec e_1=(1,-2,1)\).

Notons \(E_2=\{\vec V=(x,y,z)/ A\vec V=4\vec V\}\), on résout alors le système \[\left\{\]\[\begin{aligned} 3x-z&=4x \\ 2x+4y+2z&=4y \\ -x+3z&=4z\end{aligned}\]\[\right.\iff z=-x\] Le sous-espace propre \(E_2\) associé à la valeur propre \(4\) est le plan vectoriel, d’équation

\(z=-x\) dont une base est donnée, par exemple par les vecteurs \(\vec e_2=(0,1,0)\) et

\(\vec e_3=(1,0,-1)\). Remarquons que l’on pouvait lire directement sur la matrice \(A\), le fait que le vecteur \(\vec e_2\) est vecteur propre associé à la valeur propre \(4\).

Les dimensions des sous-espaces propres sont égales aux multiplicités des valeurs propres correspondantes, par conséquent, l’espace \(\R^3\) admet une base de vecteurs propres et la matrice \(A\) est diagonalisable.

Notons \(P\) la matrice de passage, on a \[P=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ -2&1&0 \\ 1&0&-1\end{pmatrix}\] et, si \(D\) est la matrice diagonale \[D=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&4&0 \\ 0&0&4\end{pmatrix},\] on a la relation \[A=PDP^{-1}.\]

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