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Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la
matrice par rapport à la base canonique est :
\[M=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 &1 & 2
\end{array}
\right),
\; \mbox{où} \; k\in\C.\]
(a) Déterminer, suivant les valeurs de
\(k\), la dimension du noyau de \(f\).
(b) Montrer que \(M\) admet une valeur propre
réelle entière indépendante de \(k\), et
calculer toutes les valeurs propres de \(M\).
(c) Indiquer toutes les valeurs de \(k\) pour
lesquelles on obtient des valeurs propres
multiples. Pour quelles valeurs de ces \(k\) la
matrice \(M\) est-elle semblable à une matrice
diagonale?