Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\).
On suppose que \(u^3 = u^2, u \ne \mathrm{id}, u^2 \ne 0, u^2 \ne u\).
1
Montrer qu’une valeur propre de \(u\) ne peut être que \(0\) ou \(1\).
2
Montrer que \(1\) et \(0\) sont effectivement valeurs propres de \(u\).
3
Montrer que u n’est pas diagonalisable.
4
Montrer que \(E = {\rm Im} (u^2) \oplus {\rm Ker} (u^2)\).
5
Monter que \(u|_F\) avec \(F= {\rm Im} (u^2)\) est l’identité.