exo7 3543

Soient $E$ un ev de dimension finie sur $\C$ et $u$ un endomorphisme de $E$ .

On suppose que $u^3 = u^2, u \ne \mathrm{id}, u^2 \ne 0, u^2 \ne u$ .

Montrer qu’une valeur propre de $u$ ne peut être que $0$ ou $1$ .

Montrer que $1$ et $0$ sont effectivement valeurs propres de $u$ .

Montrer que u n’est pas diagonalisable.

Montrer que $E = {\rm Im} (u^2) \oplus {\rm Ker} (u^2)$ .

Monter que $u|_F$ avec $F= {\rm Im} (u^2)$ est l’identité.