On note \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\Rr^3\) est \(A\). Le théorème de Cayley-Hamilton et le théorème de décomposition des noyaux permettent d’affirmer

\(\mathcal{M}_3(\Rr)=\text{Ker}(A+2I)\oplus\text{Ker}(A-I)^2\).

De plus, chacun des sous-espaces \(\text{Ker}(A+2I)\) et \(\text{Ker}(A-I)^2\) étant stables par \(f\), la matrice de \(f\) dans toute base adaptée à cette décomposition est diagonale par blocs. Enfin, \(\text{Ker}(A-I)\) est une droite vectorielle contenue dans le plan \(\text{Ker}(A-I)^2\) et en choisissant une base de \(\text{Ker}(A-I)^2\) dont l’un des deux vecteurs est dans \(\text{Ker}(A-I)\), la matrice de \(f\) aura la forme voulue.

On a déjà choisi \(e_1=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right)\) et \(e_2=\left( \begin{array}{c} 1\\ -2\\ -4 \end{array} \right)\) puis on prend \(e_3=\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right)\). On note \(P=\left( \begin{array}{ccc} 0&1&1\\ 0&-2&-1\\ 1&-4&0 \end{array} \right)\). \(P\) est inversible d’inverse \(P^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} -4&-4&1\\ -1&-1&0\\ 2&1&0 \end{array} \right)\). On peut déjà affirmer que \(P^{-1}AP\) est de la forme \(\left( \begin{array}{ccc} -2&0&0\\ 0&1&\times\\ 0&0&1 \end{array} \right)\). Plus précisément

\(Ae_3-e_3=\left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1\\ -2\\ -4 \end{array} \right)=e_2\)

et donc \(Ae_3=e_2+e_3\) puis

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