Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E.\)
1
Montrer que si \(f\) est diagonalisable alors \(f^2\) est diagonalisable et \(\text{rg}(f)=\text{rg}(f^2).\)
2
Soit \(\mu\in\Cc\setminus\left\{0\right\}\). Montrer que \(\ker(f^2-\mu^2\text{Id}_E)= \ker(f-\mu\text{Id}_E)\oplus \ker(f+\mu\text{Id}_E).\)
3
On suppose \(\text{rg}(f)=\text{rg}(f^2).\)
4
Montrer que \(\ker(f)=\ker(f^2).\)
5
On suppose en outre que \(f^2\) est diagonalisable. Montrer que \(f\) est diagonalisable.