L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 5 questions

exo7 1667

Soient EE un C\Cc-espace vectoriel de dimension nn et ff un endomorphisme de E.E.

1

Montrer que si ff est diagonalisable alors f2f^2 est diagonalisable et rg(f)=rg(f2).\text{rg}(f)=\text{rg}(f^2).

2

Soit μ∈C∖{0}\mu\in\Cc\setminus\left\{0\right\}. Montrer que ker⁡(f2−μ2IdE)=ker⁡(f−μIdE)⊕ker⁡(f+μIdE).\ker(f^2-\mu^2\text{Id}_E)= \ker(f-\mu\text{Id}_E)\oplus \ker(f+\mu\text{Id}_E).

3

On suppose rg(f)=rg(f2).\text{rg}(f)=\text{rg}(f^2).

4

Montrer que ker⁡(f)=ker⁡(f2).\ker(f)=\ker(f^2).

5

On suppose en outre que f2f^2 est diagonalisable. Montrer que ff est diagonalisable.

Exercice vlls

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?