L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 3 questions

exo7 1669

On désigne par EE l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par EnE_n, le sous-espace des polynôme s de degré au plus nn.

1

Montrer que pour tout xx dans R,  ΔP(x)=(x+1)P′(x)+2P(x)\mathbb{R}, ~~ \Delta P(x)=(x+1)P'(x)+2P(x) définit une application linéaire de EE dans EE. Quel est le degré de ΔP\Delta P lorsque PP appartient à EnE_n?

2

On considère Δ2\Delta_2, la restriction de Δ\Delta au sous-espace E2E_2. Déterminer les valeurs propres  de Δ2\Delta_2. L’endomorphisme  Δ2\Delta_2 est-il diagonalisable ? Est-ce que Δ2\Delta_2 est un isomorphisme ?

3

En utilisant la définition des valeurs propres, calculer les valeurs propres  et les polynôme s propres de Δ\Delta.

Exercice SNTm

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?