On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par \(E_n\), le sous-espace des polynôme s de degré au plus \(n\).
1
Montrer que pour tout \(x\) dans \(\mathbb{R}, ~~ \Delta P(x)=(x+1)P'(x)+2P(x)\) définit une application linéaire de \(E\) dans \(E\). Quel est le degré de \(\Delta P\) lorsque \(P\) appartient à \(E_n\)?
2
On considère \(\Delta_2\), la restriction de \(\Delta\) au sous-espace \(E_2\). Déterminer les valeurs propres de \(\Delta_2\). L’endomorphisme \(\Delta_2\) est-il diagonalisable ? Est-ce que \(\Delta_2\) est un isomorphisme ?
3
En utilisant la définition des valeurs propres, calculer les valeurs propres et les polynôme s propres de \(\Delta\).