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Soient $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ et $B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)$ . On note $C = I_n - AB$ et $D = I_p - BA$ .

( $I_n,I_p =$ matrices unité d’ordres $n$ et $p$ )

Montrer que si $C$ est inversible, alors $D$ l’est aussi (résoudre $DX = 0$ ).

Le cas échéant, exprimer $D^{-1}$ en fonction de $A,B,C^{-1}$ .

En déduire que $AB$ et $BA$ ont les mêmes valeurs propres non nulles. Examiner le cas de la valeur propre $0$ si $n = p$ .