Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note \(C = I_n - AB\) et \(D = I_p - BA\).
(\(I_n,I_p =\) matrices unité d’ordres \(n\) et \(p\))
1
Montrer que si \(C\) est inversible, alors \(D\) l’est aussi (résoudre \(DX = 0\)).
2
Le cas échéant, exprimer \(D^{-1}\) en fonction de \(A,B,C^{-1}\).
3
En déduire que \(AB\) et \(BA\) ont les mêmes valeurs propres non nulles. Examiner le cas de la valeur propre \(0\) si \(n = p\).