Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit \(\pi_{1},...,\pi_{N}\) des endomorphismes tous non nuls de \(E\) et \(\lambda_{1},...,\lambda_{N}\) \(N\) nombres complexes distincts. On suppose que : \[\forall m\in\N \quad f^{m}=\sum_{k=1}^{N}\lambda_{k}^{m}\pi_{k}.\]
Montrer que \(\forall P\in\C[X],\quad P(f)=\sum_{k=1}^{N}P(\lambda_{k})\pi_{k}\)
On considère le polynôme \(Q=\prod_{1\leq k\leq N}(X-\lambda_{k})\) et pour chaque \(p\in\{1,...,N\}\) les polynômes suivants : \[Q_{p}=\prod_{\substack{ 1\leq k\leq N \\k\neq p}} (X-\lambda_{k})\qquad\text{et}\qquad \tilde Q_{p}=\frac{1}{Q_{p}(\lambda_{p})}\ Q_{p}\]
Calculer \(Q(f)\). Qu’en déduit-on pour \(f\) ?
Montrer que \(Sp(f)\subset\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}\)
Montrer que \(\tilde Q_{p}(f)=\pi_{p}\). Vérifier alors que \(\pi_{p}\circ\pi_{q}= \left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si } p\neq q\\ \pi_{p} \text{ si } p=q \end{array} \right.\)
Calculer \(f\circ\pi_{p}\). En déduire que \(Sp(f)=\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}\).
On note \(E_{p}\) l’espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_{p}\).
Montrer que \(\mathrm{Im}\pi_{p}\subset E_{p}\). Réciproquement, pour \(x\in E_{p}\), montrer que \(x\in\mathrm{Ker}\pi_{q}\) pour \(q\neq p\) (on calculera par exemple \(\pi_{q}\circ f(x)\) de deux façons différentes) puis que \(x=\pi_{p}(x)\). En déduire que \(E_{p}\subset\mathrm{Im}\pi_{p}\).
En déduire que \(\mathrm{Im}\pi_{p}=E_{p}\) et que \(\mathrm{Ker}\pi_{p}=\bigoplus_{q\neq p}E_{q}\). Décrire géométriquement \(\pi_{p}\).