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Montrer que $\forall P\in\C[X],\quad P(f)=\sum_{k=1}^{N}P(\lambda_{k})\pi_{k}$

On considère le polynôme $Q=\prod_{1\leq k\leq N}(X-\lambda_{k})$ et pour chaque $p\in\{1,...,N\}$ les polynômes suivants : $$Q_{p}=\prod_{\substack{ 1\leq k\leq N \\k\neq p}} (X-\lambda_{k})\qquad\text{et}\qquad \tilde Q_{p}=\frac{1}{Q_{p}(\lambda_{p})}\ Q_{p}$$

Calculer $Q(f)$. Qu’en déduit-on pour $f$ ?

Montrer que $Sp(f)\subset\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}$

Montrer que $\tilde Q_{p}(f)=\pi_{p}$. Vérifier alors que $\pi_{p}\circ\pi_{q}= \left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si } p\neq q\\ \pi_{p} \text{ si } p=q \end{array} \right.$

Calculer $f\circ\pi_{p}$. En déduire que $Sp(f)=\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}$.

On note $E_{p}$ l’espace propre associé à la valeur propre $\lambda_{p}$.

Montrer que $\mathrm{Im}\pi_{p}\subset E_{p}$. Réciproquement, pour $x\in E_{p}$, montrer que $x\in\mathrm{Ker}\pi_{q}$ pour $q\neq p$ (on calculera par exemple $\pi_{q}\circ f(x)$ de deux façons différentes) puis que $x=\pi_{p}(x)$. En déduire que $E_{p}\subset\mathrm{Im}\pi_{p}$.

En déduire que $\mathrm{Im}\pi_{p}=E_{p}$ et que $\mathrm{Ker}\pi_{p}=\bigoplus_{q\neq p}E_{q}$. Décrire géométriquement $\pi_{p}$.