Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(P\in {\mathbb{K}}[X]\) et \(u \in \mathcal{L} (E) .\) On note \(P (Sp(u))=\{ P(\lambda ) ; \lambda \in Sp(u)\} .\)
1
On suppose que \(u\) est diagonalisable. Montrer que \(P (Sp(u))= Sp(P(u)) .\)
2
Montrer, dans le cas général, \(P (Sp(u))\subset Sp(P(u)) .\)
3
Lorsque \(\mathbb{K} = \C\) montrer que \(Sp(P(u))\subset P (Sp(u)) .\) Ce résultat est-il vrai lorsque \(\mathbb{K} = \R\) ?