L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 1652

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie, $P\in {\mathbb{K}}[X]$ et $u \in \mathcal{L} (E) .$ On note $P (Sp(u))=\{ P(\lambda ) ; \lambda \in Sp(u)\} .$

On suppose que $u$ est diagonalisable. Montrer que $P (Sp(u))= Sp(P(u)) .$

Montrer, dans le cas général, $P (Sp(u))\subset Sp(P(u)) .$

Lorsque $\mathbb{K} = \C$ montrer que $Sp(P(u))\subset P (Sp(u)) .$ Ce résultat est-il vrai lorsque $\mathbb{K} = \R$ ?