L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 1678

Soient f∈L(E)f\in\mathcal{L}(E), FF un sous-espace vectoriel de EE stable par ff et gg l’endomorphisme de FF induit par ff.

1

Montrer que si P∈K[X]P\in K[X] vérifie P(f)=0P(f)=0 alors P(g)=0P(g)=0.

2

En déduire que si ff est diagonalisable alors gg est diagonalisable.

3

Application : trouver tous les sous-espaces vectoriels stables par l’endomorphisme ff de R3\Rr^3 canoniquement associé à la matrice A=(11−1−2−2211−1)∈M3(R)A=\left( \begin{smallmatrix} 1&1&-1\\ -2&-2&2\\ 1&1&-1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr).

Exercice mzco

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