Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\), \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(f\) et \(g\) l’endomorphisme de \(F\) induit par \(f\).
1
Montrer que si \(P\in K[X]\) vérifie \(P(f)=0\) alors \(P(g)=0\).
2
En déduire que si \(f\) est diagonalisable alors \(g\) est diagonalisable.
3
Application : trouver tous les sous-espaces vectoriels stables par l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice \(A=\left( \begin{smallmatrix} 1&1&-1\\ -2&-2&2\\ 1&1&-1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)\).