exo7 1665

Montrer que si $f$ est diagonalisable alors $\text{tr}(f)\not= 0$.

Montrer qu’il existe $\lambda\in K$ tel que le polynôme cararactéristique de $f$ s’écrive $${\chi_f=(-1)^nX^{n-1}(X-\lambda)}.$$

Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $\text{tr}(f)\not= 0$.

Réduire sans calcul la matrice $A=\left( \begin{smallmatrix} 1&1&-1\\ -2&-2&2\\ 1&1&-1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)$ et donner sans calcul les sous-espaces vectoriels propres.