Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\) de rang \(1\).
1
Montrer que si \(f\) est diagonalisable alors \(\text{tr}(f)\not= 0\).
2
Montrer qu’il existe \(\lambda\in K\) tel que le polynôme cararactéristique de \(f\) s’écrive \[{\chi_f=(-1)^nX^{n-1}(X-\lambda)}.\]
3
Montrer que \(f\) est diagonalisable si et seulement si \(\text{tr}(f)\not= 0\).
4
Réduire sans calcul la matrice \(A=\left( \begin{smallmatrix} 1&1&-1\\ -2&-2&2\\ 1&1&-1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)\) et donner sans calcul les sous-espaces vectoriels propres.