Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et \[f: \mathcal{M}_n(K)\to\mathcal{M}_n(K), M\mapsto \text{tr} (A)M-\text{tr}(M)A.\]
1
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(K)\).
2
Montrer que \(\mathcal{T}=\left\{ M\in \mathcal{M}_n(K): \text{tr}(M)=0\right\}\) et \(\text{vect}(A)\) sont des sous-espaces propres de \(f\).
3
En déduire que \(f\) est diagonalisable et écrire la matrice réduite de \(f\).