exo7 1662

Soient $A\in \mathcal{M}_n(K)$ telle que $\text{tr}(A)\not= 0$ et $f: \mathcal{M}_n(K)\to\mathcal{M}_n(K), M\mapsto \text{tr} (A)M-\text{tr}(M)A.$

Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(K)$ .

Montrer que $\mathcal{T}=\left\{ M\in \mathcal{M}_n(K): \text{tr}(M)=0\right\}$ et $\text{vect}(A)$ sont des sous-espaces propres de $f$ .

En déduire que $f$ est diagonalisable et écrire la matrice réduite de $f$ .