exo7 1672

On considère l’endomorphisme $a$ de $E=\Rr^2$ dont la matrice représentative $A=[a]_e^e$ dans la base canonique $e$ est $\left[ \begin{array}{ll}7&-10\\5&-8 \end{array} \right].$ Calculer la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique et le spectre de $a$. Quel théorème du cours garantit l’existence d’une base $f=(\vec{f}_1,\vec{f}_2)$ de vecteurs propres? Choisir ensuite $f$ telle que $[\mathrm{id}_E]_f^e$ et $[\mathrm{id}_E]_e^f$ soient à coefficients entiers. Dessiner $\vec{f}_1$ et $\vec{f}_2$, en prenant des unités d’axes assez petites. Dessiner quelques vecteurs $\vec{x}$ et leurs images $a(\vec{x})$ à l’aide de $f$.

Trouver deux matrices $P$ et $D$ carrées d’ordre 2 telles que $D$ soit diagonale, $P$ inversible et $A=PDP^{-1}$. Calculer $[a^{50}]_f^f$, $[a^{50}]_e^e$ et $A^{50}$. Calculer $\lim_{n\infty}\frac{1}{3^{2n}}a^{2n}.$