On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative \(A=[a]_e^e\) dans la base canonique \(e\) est \(\left[ \begin{array}{ll}7&-10\\5&-8 \end{array} \right].\) Calculer la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique et le spectre de \(a\). Quel théorème du cours garantit l’existence d’une base \(f=(\vec{f}_1,\vec{f}_2)\) de vecteurs propres? Choisir ensuite \(f\) telle que \([\mathrm{id}_E]_f^e\) et \([\mathrm{id}_E]_e^f\) soient à coefficients entiers. Dessiner \(\vec{f}_1\) et \(\vec{f}_2\), en prenant des unités d’axes assez petites. Dessiner quelques vecteurs \(\vec{x}\) et leurs images \(a(\vec{x})\) à l’aide de \(f\).
Trouver deux matrices \(P\) et \(D\) carrées d’ordre 2 telles que \(D\) soit diagonale, \(P\) inversible et \(A=PDP^{-1}\). Calculer \([a^{50}]_f^f\), \([a^{50}]_e^e\) et \(A^{50}\). Calculer \(\lim_{n\infty}\frac{1}{3^{2n}}a^{2n}.\)