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Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et $M = \begin{pmatrix} A &0 \cr A &A \cr\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2N}(K)$ .

Comparer les valeurs propres de $A$ et $M$ .

Soit $P \in K[X]$ et $Q = XP'$ . Montrer que $P(M) = \begin{pmatrix} P(A) & 0 \cr Q(A) & P(A) \cr \end{pmatrix}$ .

A quelle condition sur $A$ , $M$ est-elle diagonalisable ?