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Soit $\alpha\in\R$ et $A_\alpha\in M_3(\R)$ la matrice suivante $A_\alpha=\begin{pmatrix}-1 & 0 & \alpha+1 \\ 1&-2&0 \\ -1&1&\alpha\end{pmatrix}$

Factoriser le polynôme caractéristique $P_{A_\alpha}(X)$ en produit de facteurs du premier degré.

Déterminer selon la valeur du paramètre $\alpha$ les valeurs propres distinctes de $A_\alpha$ et leur multiplicité.

Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la matrice $A_\alpha$ est diagonalisable.

Déterminer selon la valeur de $\alpha$ le polynôme minimal de $A_\alpha$ .