L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 3610

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ et $\lambda = a+ib$ une valeur propre non réelle de $M$ ( $a \in \R$ , $b \in \R^*$ ). On note X un vecteur propre complexe de $M$ .

Montrer que $\overline X$ est aussi vecteur propre de $M$ .

Montrer que $(X,\overline X)$ est libre dans $\C^n$ .

Soient $U = \frac12(X+\overline X)$ , $V = \frac1{2i}(X-\overline X)$ . Montrer que $(U,V)$ est libre dans $\R^n$ .