$\chi_{A}=(-1-X)(2-X)^{2}$ . Donc $A$ est diagonalisable ssi $\dim \ker(A-2I)=2$ . Or $\mathrm{rg}(A-2I)=2$ , donc $\dim \ker(A-2I)=1$ donc $A$ n’est pas diagonalisable. Cependant, $\chi_{A}$ est scindé sur $\R$ donc $A$ est triangularisable sur $\R$ .

$\Big(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\Big)\in\ker(A+I) \Leftrightarrow\Big\{\begin{smallmatrix} 4x+2y+4z=0\\-x+4y-z=0\\-2x-y-2z=0 \end{smallmatrix} \Leftrightarrow\big\{\begin{smallmatrix} x+z=0\\y=0 \end{smallmatrix}$ donc $\ker(A+I)=\R\Big(\begin{smallmatrix} 1\\0\\-1 \end{smallmatrix}\Big)$

De même,

$\Big(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\Big)\in\ker(A-2I) \Leftrightarrow\Big\{\begin{smallmatrix} x+2y+4z=0\\-x+y-z=0\\-2x-y-5z=0 \end{smallmatrix} \Leftrightarrow\big\{\begin{smallmatrix} x=2y\\z=-y \end{smallmatrix}$ donc $\ker(A+I)=\R\Big(\begin{smallmatrix} 2\\1\\-1 \end{smallmatrix}\Big)$

On sait que $\ker((A-2I)^{2})$ est de dimension 2, et que $\Big(\begin{smallmatrix} 2\\1\\-1 \end{smallmatrix}\Big)\in\ker(A-2I)\subset\ker((A-2I)^{2})$ . On cherche donc un deuxième vecteur dans $\ker((A-2I)^{2})$ , linéairement indépendant de $\Big(\begin{smallmatrix} 2\\1\\-1 \end{smallmatrix}\Big)$ .

$(A-2I)^{2}=\Big(\begin{smallmatrix} -9&0&-18\\0&0&0\\9&0&18 \end{smallmatrix}\Big)$ donc $\Big(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0 \end{smallmatrix}\Big)$ convient. De plus : $A\Big(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0 \end{smallmatrix}\Big)=\Big(\begin{smallmatrix} 2\\3\\-1 \end{smallmatrix}\Big)=\Big(\begin{smallmatrix} 2\\1\\-1 \end{smallmatrix}\Big)+2\Big(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0 \end{smallmatrix}\Big)$ .

Donc en posant $P=\Big(\begin{smallmatrix} 1&2&0\\0&1&1\\-1&-1&0 \end{smallmatrix}\Big)$ , on obtient $P^{-1}AP=\Big(\begin{smallmatrix} -1&0&0\\0&2&1\\0&0&2 \end{smallmatrix}\Big)$ .

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