\(\chi_{A}=(-1-X)(2-X)^{2}\). Donc \(A\) est diagonalisable ssi \(\dim \ker(A-2I)=2\). Or \(\mathrm{rg}(A-2I)=2\), donc \(\dim \ker(A-2I)=1\) donc \(A\) n’est pas diagonalisable. Cependant, \(\chi_{A}\) est scindé sur \(\R\) donc \(A\) est triangularisable sur \(\R\).

\(\Big(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\Big)\in\ker(A+I) \Leftrightarrow\Big\{\begin{smallmatrix} 4x+2y+4z=0\\-x+4y-z=0\\-2x-y-2z=0 \end{smallmatrix} \Leftrightarrow\big\{\begin{smallmatrix} x+z=0\\y=0 \end{smallmatrix}\) donc \(\ker(A+I)=\R\Big(\begin{smallmatrix} 1\\0\\-1 \end{smallmatrix}\Big)\)

De même,

\(\Big(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\Big)\in\ker(A-2I) \Leftrightarrow\Big\{\begin{smallmatrix} x+2y+4z=0\\-x+y-z=0\\-2x-y-5z=0 \end{smallmatrix} \Leftrightarrow\big\{\begin{smallmatrix} x=2y\\z=-y \end{smallmatrix}\) donc \(\ker(A+I)=\R\Big(\begin{smallmatrix} 2\\1\\-1 \end{smallmatrix}\Big)\)

On sait que \(\ker((A-2I)^{2})\) est de dimension 2, et que \(\Big(\begin{smallmatrix} 2\\1\\-1 \end{smallmatrix}\Big)\in\ker(A-2I)\subset\ker((A-2I)^{2})\). On cherche donc un deuxième vecteur dans \(\ker((A-2I)^{2})\), linéairement indépendant de \(\Big(\begin{smallmatrix} 2\\1\\-1 \end{smallmatrix}\Big)\).

\((A-2I)^{2}=\Big(\begin{smallmatrix} -9&0&-18\\0&0&0\\9&0&18 \end{smallmatrix}\Big)\) donc \(\Big(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0 \end{smallmatrix}\Big)\) convient. De plus : \(A\Big(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0 \end{smallmatrix}\Big)=\Big(\begin{smallmatrix} 2\\3\\-1 \end{smallmatrix}\Big)=\Big(\begin{smallmatrix} 2\\1\\-1 \end{smallmatrix}\Big)+2\Big(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0 \end{smallmatrix}\Big)\).

Donc en posant \(P=\Big(\begin{smallmatrix} 1&2&0\\0&1&1\\-1&-1&0 \end{smallmatrix}\Big)\), on obtient \(P^{-1}AP=\Big(\begin{smallmatrix} -1&0&0\\0&2&1\\0&0&2 \end{smallmatrix}\Big)\).

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