A \(n\) nombres complexes \((a_{1},...,a_{n})\in\C^{n}\) avec \(a_{2}\neq 0\), on associe la matrice \(A_{n}= \begin{pmatrix} a_{1} &a_{2} &\cdots &a_{n} \\ a_{2} & & & \\ \vdots& &\text{\huge{0}} & \\ a_{n} & & & \end{pmatrix}\).
1
Quel est le rang de \(A_{n}\). Qu’en déduit-on pour le polynôme caractéristique \(\chi_{n}\) de \(A_{n}\) ?
2
Calculer \(\chi_{2}\), \(\chi_{3}\).
3
On pose \(b_{n}=a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\). Par récurrence, montrer que \(\chi_{n}=(-X)^{n-2}(X^{2}-a_{1}X-b_{n})\).
4
Si \(b_{n}=0\), \(A_{n}\) est-elle diagonalisable ?
5
Si \(b_{n}\neq0\), à quelle condition \(A_{n}\) est-elle diagonalisable ?