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A $n$ nombres complexes $(a_{1},...,a_{n})\in\C^{n}$ avec $a_{2}\neq 0$ , on associe la matrice $A_{n}= \begin{pmatrix} a_{1} &a_{2} &\cdots &a_{n} \\ a_{2} & & & \\ \vdots& &\text{\huge{0}} & \\ a_{n} & & & \end{pmatrix}$ .

Quel est le rang de $A_{n}$ . Qu’en déduit-on pour le polynôme caractéristique $\chi_{n}$ de $A_{n}$ ?

Calculer $\chi_{2}$ , $\chi_{3}$ .

On pose $b_{n}=a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}$ . Par récurrence, montrer que $\chi_{n}=(-X)^{n-2}(X^{2}-a_{1}X-b_{n})$ .

Si $b_{n}=0$ , $A_{n}$ est-elle diagonalisable ?

Si $b_{n}\neq0$ , à quelle condition $A_{n}$ est-elle diagonalisable ?

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