Soit $B$ la matrice de l’énoncé. $\text{rg}B = 1$ et si $A$ existe, nécessairement $\text{rg}A = n-1$ (exercice [ex:rou18bis]).

Une matrice de rang $1$ admet l’écriture générale $U{^t}V$ où $U$ et $V$ sont des vecteurs colonnes non nuls. Ici $U=\left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \vdots\\ n \end{array} \right)$ et $V =\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array} \right)$ .

Si $A$ existe, $A$ doit déjà vérifier $A{^t}tB={^t}BA = 0$ ou encore $AV{^t}U= 0$ (1) et $V{^t}UA = 0$ (2). En multipliant les deux membres de l’égalité (1) par $U$ à droite puis en simplifiant par le réel non nul ${^t}UU=\|U\|_2^2$ , on obtient $AV = 0$ . Ceci montre que la première colonne de $A$ est nulle (les $n-1$ dernières devant alors former une famille libre).

De même, en multipliant les deux membres de l’égalité (2) par ${^t}V$ à gauche, on obtient ${^t}UA = 0$ et donc les colonnes de la matrice $A$ sont orthogonales à $U$ (pour le produit scalaire usuel) ce qui invite franchement à considérer la matrice $A=\left( \begin{array}{ccccc} 0&-2&\ldots&\ldots&-n\\ 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&\ldots&0&1 \end{array}\right)$ qui convient.

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