Soit \(B\) la matrice de l’énoncé. \(\text{rg}B = 1\) et si \(A\) existe, nécessairement \(\text{rg}A = n-1\) (exercice [ex:rou18bis]).

Une matrice de rang \(1\) admet l’écriture générale \(U{^t}V\) où \(U\) et \(V\) sont des vecteurs colonnes non nuls. Ici \(U=\left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \vdots\\ n \end{array} \right)\) et \(V =\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array} \right)\).

Si \(A\) existe, \(A\) doit déjà vérifier \(A{^t}tB={^t}BA = 0\) ou encore \(AV{^t}U= 0\) (1) et \(V{^t}UA = 0\) (2). En multipliant les deux membres de l’égalité (1) par \(U\) à droite puis en simplifiant par le réel non nul \({^t}UU=\|U\|_2^2\), on obtient \(AV = 0\). Ceci montre que la première colonne de \(A\) est nulle (les \(n-1\) dernières devant alors former une famille libre).

De même, en multipliant les deux membres de l’égalité (2) par \({^t}V\) à gauche, on obtient \({^t}UA = 0\) et donc les colonnes de la matrice \(A\) sont orthogonales à \(U\) (pour le produit scalaire usuel) ce qui invite franchement à considérer la matrice \(A=\left( \begin{array}{ccccc} 0&-2&\ldots&\ldots&-n\\ 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&\ldots&0&1 \end{array}\right)\) qui convient.

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