L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 4 questions

exo7 2571

Soit ff un endomorphisme de EE vérifiant f2=mathrmIdEf^2={\rm mathrm{Id}}_E.

1

Démontrer que les seules valeurs propres possibles de ff sont 11 et −1-1.

2

Vérifier que pour tout x⃗∈E\vec x\in E, on a f(x⃗−f(x⃗))=−(x⃗−f(x⃗))  et  f(x⃗+f(x⃗))=(x⃗+f(x⃗))f(\vec x-f(\vec x))=-(\vec x-f(\vec x))\ \ {\hbox{et}}\ \ f(\vec x+f(\vec x))=(\vec x+f(\vec x)) et en déduire que ff admet toujours une valeur propre.

3

Démontrer que si 11 et −1-1 sont valeurs propres, alors EE est somme directe des sous-espaces propres correspondants.

4

Traduire géométriquement sur un dessin dans le cas n=2n=2.

Exercice kzhU

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