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Soient $A= \begin{pmatrix}3 & -4\cr 2 & -3 \cr \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix}1 & 2\cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix} .$ Diagonaliser $A$ et montrer que $B$ n’est pas diagonalisable.

Montrer que si $N$ est un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle $\lambda$ de $\varphi _M$ alors $N$ est nilpotente. (on pourra établir que pour tout $k \in \N : MN^k-N^kM=k\lambda N^k$.)

Montrer que l’identité n’appartient pas à l’image de $\varphi _M .$ (utiliser la trace.)

Soit $D=\begin{pmatrix}1 & 0 \cr 0 & -1 \cr \end{pmatrix} .$ Diagonaliser $\varphi _D$ puis $\varphi _A .$ Montrer que $\varphi _B$ n’est pas diagonalisable.

Montrer que si $M$ est diagonalisable, $\varphi _M$ est diagonalisable.

Etablir la réciproque lorsque $M$ a au moins une valeur propre.