Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note \(\varphi _M \in \mathcal{L} (M_n (\mathbb{K} ))\) l’application \(N\mapsto MN-NM .\)
Soient \(A= \begin{pmatrix}3 & -4\cr 2 & -3 \cr \end{pmatrix}\) et \(B= \begin{pmatrix}1 & 2\cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix} .\) Diagonaliser \(A\) et montrer que \(B\) n’est pas diagonalisable.
Montrer que si \(N\) est un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle \(\lambda\) de \(\varphi _M\) alors \(N\) est nilpotente. (on pourra établir que pour tout \(k \in \N : MN^k-N^kM=k\lambda N^k\).)
Montrer que l’identité n’appartient pas à l’image de \(\varphi _M .\) (utiliser la trace.)
Soit \(D=\begin{pmatrix}1 & 0 \cr 0 & -1 \cr \end{pmatrix} .\) Diagonaliser \(\varphi _D\) puis \(\varphi _A .\) Montrer que \(\varphi _B\) n’est pas diagonalisable.
Montrer que si \(M\) est diagonalisable, \(\varphi _M\) est diagonalisable.
Etablir la réciproque lorsque \(M\) a au moins une valeur propre.