L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 3588

Soit ff, endomorphisme d’un espace vectoriel EE de dimension nn.

1

On suppose que pour tout sous-ev DD de dimension 1 il existe x∈Dx\in D tel que E=vect(x,f(x),f2(x),… )E = \text{vect}(x,f(x),f^2(x),\dots). Que dire de EE et ff ?

2

On suppose qu’il existe x∈Ex\in E tel que E=vect(x,f(x),f2(x),… )E = \text{vect}(x,f(x),f^2(x),\dots). Montrer que si ff est diagonalisable alors ses valeurs propres sont toutes distinctes. Montrer que si ff est nilpotente alors fn−1≠0f^{n-1}\ne 0.

Exercice vXcC

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