Soit \(f\), endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\).
1
On suppose que pour tout sous-ev \(D\) de dimension 1 il existe \(x\in D\) tel que \(E = \text{vect}(x,f(x),f^2(x),\dots)\). Que dire de \(E\) et \(f\) ?
2
On suppose qu’il existe \(x\in E\) tel que \(E = \text{vect}(x,f(x),f^2(x),\dots)\). Montrer que si \(f\) est diagonalisable alors ses valeurs propres sont toutes distinctes. Montrer que si \(f\) est nilpotente alors \(f^{n-1}\ne 0\).