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Soit $\theta\in]0,\pi[$. On considère les deux matrices d’ordre $n$:

$$A=\left[ \begin{array}{llllll}0&1&0&\cdots&0&0\\ 1&0&1&\cdots&0&0\\ 0&1&0&\cdots&0&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&0&\cdots&1&0 \end{array} \right], B=\left[ \begin{array}{llllll} 2\cos \theta&1&0&\cdots&0&0\\ 1&2\cos \theta&1&\cdots&0&0\\ 0&1&2\cos \theta&\cdots&0&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos \theta&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos \theta \end{array} \right]$$ Montrer par récurrence que $\det B=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin \theta}$ (Méthode: développer par rapport à la dernière ligne). Montrer que $\det B$ s’annule pour $n$ valeurs distinctes de $\theta$ de $]0,\pi[$, et les déterminer. Si $P_A$ est le polynôme caractéristique de $A$, calculer $P_A(-2\cos \theta)$ et déduire de ce qui précède les valeurs propres de $A.$ Montrer que les valeurs propres des matrices $2I_n+A$ et $2I_n-A$ sont strictement positives.