Soit \(\theta\in]0,\pi[\). On considère les deux matrices d’ordre \(n\):
\[A=\left[ \begin{array}{llllll}0&1&0&\cdots&0&0\\ 1&0&1&\cdots&0&0\\ 0&1&0&\cdots&0&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&0&\cdots&1&0 \end{array} \right], B=\left[ \begin{array}{llllll} 2\cos \theta&1&0&\cdots&0&0\\ 1&2\cos \theta&1&\cdots&0&0\\ 0&1&2\cos \theta&\cdots&0&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos \theta&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos \theta \end{array} \right]\] Montrer par récurrence que \(\det B=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin \theta}\) (Méthode: développer par rapport à la dernière ligne). Montrer que \(\det B\) s’annule pour \(n\) valeurs distinctes de \(\theta\) de \(]0,\pi[\), et les déterminer. Si \(P_A\) est le polynôme caractéristique de \(A\), calculer \(P_A(-2\cos \theta)\) et déduire de ce qui précède les valeurs propres de \(A.\) Montrer que les valeurs propres des matrices \(2I_n+A\) et \(2I_n-A\) sont strictement positives.