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Soit $A \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ ayant pour valeurs propres $1,-2,2$ , et $n\in \N$ .

Montrer que $A^n$ peut s’écrire sous la forme : $A^n = \alpha_n A^2 + \beta_n A + \gamma_n I$ avec $\alpha_n,\beta_n,\gamma_n \in \R$ .

On considère le polynôme $P = \alpha_n X^2 + \beta_n X + \gamma_n$ . Montrer que : $P(1) = 1$ , $P(2) = 2^n$ , $P(-2) = (-2)^n$ .

En déduire les coefficients $\alpha_n,\beta_n,\gamma_n$ .