Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et \(n\in \N\).
1
Montrer que \(A^n\) peut s’écrire sous la forme : \(A^n = \alpha_n A^2 + \beta_n A + \gamma_n I\) avec \(\alpha_n,\beta_n,\gamma_n \in \R\).
2
On considère le polynôme \(P = \alpha_n X^2 + \beta_n X + \gamma_n\). Montrer que : \(P(1) = 1\), \(P(2) = 2^n\), \(P(-2) = (-2)^n\).
3
En déduire les coefficients \(\alpha_n,\beta_n,\gamma_n\).