Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : \(\begin{cases} \forall\ i,j,\ m_{ij} \ge 0 \cr \forall\ i,\ m_{i,1} + m_{i,2} + \dots + m_{i,n} = 1.\cr \end{cases}\) (matrice stochastique)
1
Montrer que 1 est valeur propre de \(M\).
2
Soit \(\lambda\) une valeur propre complexe de \(M\). Montrer que \(|\lambda| \le 1\) (si \((x_1,\dots,x_n)\in \C^n\) est un vecteur propre associé, considérer le coefficient \(x_k\) de plus grand module). Montrer que si tous les coefficients \(m_{ij}\) sont strictement positifs alors \(|\lambda| = 1 \Rightarrow \lambda = 1\).