L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 2 questions

exo7 3509

Soit $M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)$ telle que : $\begin{cases} \forall\ i,j,\ m_{ij} \ge 0 \cr \forall\ i,\ m_{i,1} + m_{i,2} + \dots + m_{i,n} = 1.\cr \end{cases}$ (matrice stochastique)

Montrer que 1 est valeur propre de $M$ .

Soit $\lambda$ une valeur propre complexe de $M$ . Montrer que $|\lambda| \le 1$ (si $(x_1,\dots,x_n)\in \C^n$ est un vecteur propre associé, considérer le coefficient $x_k$ de plus grand module). Montrer que si tous les coefficients $m_{ij}$ sont strictement positifs alors $|\lambda| = 1 \Rightarrow \lambda = 1$ .