Soit $A =\left( \begin{array}{ccc} 1&3&-7\\ 2&6&-14\\ 1&3&-7 \end{array} \right)$ . $A$ est de rang $1$ et donc admet deux valeurs propres égales à $0$ . $\text{Tr}A = 0$ et donc la troisième valeur propre est encore $0$ . Donc $\chi_A = -X^3$ . $A$ est nilpotente et le calcul donne $A^2 = 0$ . Ainsi, si $X$ est une matrice telle que $X^2 = A$ alors $X$ est nilpotente et donc $X^3=0$ .

Réduction de $A$ . $A^2 = 0$ . Donc $\text{ImA}\subset\text{Ker}A$ . Soit $e_3$ un vecteur non dans $\text{Ker}A$ puis $e_2=Ae_3$ . $(e_2)$ est une base de $\text{Im}A$ que l’on complète en $(e_1,e_2)$ base de $\text{Ker}A$ .

$(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\mathcal{M}_{3,1}(\Cc)$ car si $ae_1 + be_2 + ce_3 = 0$ alors $A(ae_1 + be_2 + ce_3) = 0$ c’est-à-dire $c e_2 = 0$ et donc $c = 0$ . Puis $a = b = 0$ car la famille $(e_1,e_2)$ est libre.

Si $P$ est la matrice de passage de la base canonique de $\mathcal{M}_{3,1}(\Cc)$ à la base $(e_1,e_2,e_3)$ alors $P^{-1}AP=\left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array} \right)$ . On voit peut prendre $P=\left( \begin{array}{ccc} 3&-7&0\\ -1&-14&0\\ 0&-7&1 \end{array} \right)$ .

Si $X^2 = A$ , $X$ commute avec $A$ et donc $X$ laisse stable $\text{Im}A$ et $\text{Ker}A$ . On en déduit que $Xe_2$ est colinéaire à $e_2$ et $Xe_1$ est dans $\text{Vect}(e_1,e_2)$ . Donc $P^{-1}XP$ est de la forme $\left( \begin{array}{ccc} a&0&d\\ b&c&e\\ 0&0&f \end{array} \right)$ . De plus, $X$ est nilpotente de polynôme caractéristique $(a-\lambda)(c-\lambda)(f-\lambda)$ . On a donc nécessairement $a =c =f=0$ . $P^{-1}XP$ est de la forme $\left( \begin{array}{ccc} 0&0&b\\ a&0&c\\ 0&0&0 \end{array} \right)$ .

Enfin, $X^2=A\Leftrightarrow\left( \begin{array}{ccc} 0&0&b\\ a&0&c\\ 0&0&0 \end{array} \right)^2=\left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array} \right)\Leftrightarrow ab = 1$ .

Les matrices $X$ solutions sont les matrices de la forme $P\left( \begin{array}{ccc} 0&0&\frac{1}{a}\\ a&0&b\rule{0mm}{4mm}\\ 0&0&0 \end{array} \right)P^{-1}$ où $a$ est non nul et $b$ quelconque.

On trouve $P^{-1}=\frac{1}{49}\left( \begin{array}{ccc} 14&-7&0\\ -1&-3&0\\ -7&-21&49 \end{array} \right)$ puis

$\begin{align*}\ensuremath X&=\frac{1}{49}\left( \begin{array}{ccc} 3&-7&0\\ -1&-14&0\\ 0&-7&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 0&0&\frac{1}{a}\\ a&0&b\rule{0mm}{4mm}\\ 0&0&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 14&-7&0\\ -1&-3&0\\ -7&-21&49 \end{array} \right)\\ &=\frac{1}{49}\left( \begin{array}{ccc} -7a&0&\frac{3}{a}-7b\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-14&0&-\frac{1}{a}-14b\\ -7a&0&-7b \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 14&-7&0\\ -1&-3&0\\ -7&-21&49 \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{ccc} -2a-\frac{3}{7a}+b&a-\frac{9}{7a}+3b&\frac{3}{a}-7b\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-4a+\frac{1}{7a}+2b1&2a+\frac{3}{7a}+6b&-\frac{1}{a}-14b\\ -2a+b&a+3b&-7b \end{array} \right),\;(a,b)\in\Cc^*\times\Cc. \end{align*}$

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