L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa BCPST 4 questions

exo7 1613

Soit EE un espace vectoriel de dimension 33 et de base (e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3). On désigne par IEI_E l’application identité de EE. Soit ff une application linéaire de EE dans EE telle que f(e1)=2e2+3e3,f(e2)=2e1−5e2−8e3,f(e3)=−e1+4e2+6e3f(e_1) = 2e_2+3e_3, f(e_2) = 2e_1 - 5e_2-8e_3, f(e_3) = -e_1+4e_2+6e_3.

1

Donner la matrice de ff dans la base (e1,e2,e3)(e_1, e_2,e_3).

2

Donner la dimension et une base de Ker(f−IE)Ker (f-I_E).

3

Donner la dimension et une base de Ker(f2+IE)Ker (f^2+I_E).

4

Montrer que la reunion des bases précédentes constitue une base de E. Quelle est la matrice de ff dans cette nouvelle base ? Et celle de f2f^2 ?

Exercice Iou6

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