Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base \((e_1,e_2,e_3)\). On désigne par \(I_E\) l’application identité de \(E\). Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(E\) telle que \(f(e_1) = 2e_2+3e_3, f(e_2) = 2e_1 - 5e_2-8e_3, f(e_3) = -e_1+4e_2+6e_3\).
1
Donner la matrice de \(f\) dans la base \((e_1, e_2,e_3)\).
2
Donner la dimension et une base de \(Ker (f-I_E)\).
3
Donner la dimension et une base de \(Ker (f^2+I_E)\).
4
Montrer que la reunion des bases précédentes constitue une base de E. Quelle est la matrice de \(f\) dans cette nouvelle base ? Et celle de \(f^2\) ?