L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 4 questions

exo7 2574

(5 points) Soit $A$ une matrice carrée, $A\in M_n(K)$ ( $K=\R$ ou $\C$ ). On rappelle que la trace d’une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que ${\rm tr}(BAB^{-1})={\rm tr}A$ .

Démontrer que $\det(\exp A)={\rm e^{trA}}$ dans les cas suivants :

$A$ diagonalisable.

$A$ triangulaire supérieure ayant une diagonale de zéros.

$A$ trigonalisable.

$A$ quelconque.