Soit \(P(X)\) un polynôme de \(\C[X]\), soit \(A\) une matrice de \(M_n(\C)\). On note \(B\) la matrice : \(B=P(A)\in M_n(\C)\).
Démontrer que si \(\vec x\) est un vecteur propre de \(A\) de valeur propre \(\lambda\), alors \(\vec x\) est un vecteur propre de \(B\) de valeur propre \(P(\lambda)\).
Le but de cette question est de démontrer que les valeurs propres de \(B\) sont toutes de la forme \(P(\lambda)\), avec \(\lambda\) valeur propre de \(A\). Soit \(\mu\in\C\), on décompose le polynôme \(P(X)-\mu\) en produit de facteurs de degré \(1\) : \[P(X)-\mu=a(X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_r).\]
Démontrer que \[\det(B-\mu I_n)=a^n\det(A-\alpha_1I_n)\cdots\det(A-\alpha_rI_n).\]
En déduire que si \(\mu\) est valeur propre de \(B\), alors il existe une valeur propre \(\lambda\) de \(A\) telle que \(\mu=P(\lambda)\).