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Démontrer que si $\vec x$ est un vecteur propre de $A$ de valeur propre $\lambda$, alors $\vec x$ est un vecteur propre de $B$ de valeur propre $P(\lambda)$.

Le but de cette question est de démontrer que les valeurs propres de $B$ sont toutes de la forme $P(\lambda)$, avec $\lambda$ valeur propre de $A$. Soit $\mu\in\C$, on décompose le polynôme $P(X)-\mu$ en produit de facteurs de degré $1$ : $$P(X)-\mu=a(X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_r).$$

Démontrer que $$\det(B-\mu I_n)=a^n\det(A-\alpha_1I_n)\cdots\det(A-\alpha_rI_n).$$

En déduire que si $\mu$ est valeur propre de $B$, alors il existe une valeur propre $\lambda$ de $A$ telle que $\mu=P(\lambda)$.