Soient \({a\in \R}\), \({b\in \R}\) et \(A\) la matrice \[\begin{pmatrix} 1&a&0 \\ 0&1&b \\ 0&0&2 \\ \end{pmatrix}\]
1
Donner les valeurs de \(a\) et de \(b\) pour lesquelles la décomposition de Dunford de \(A\) est \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\]
2
On suppose dans la suite que \(b=1\) et \(a\ne 0\)
3
Déterminer les sous espaces propres et les sous espaces caractéristiques de \(A\).
4
Trouver \(D\) diagonalisable et \(N\) nilpotente telles que \(D\) commute avec \(N\) et \[A=D+N.\]