L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur 5 questions

exo7 2602

Soit AA la matrice A=(324−13−1−2−1−3)A=\begin{pmatrix}3&2&4 \\ -1&3&-1 \\ -2&-1&-3\end{pmatrix} et ff l’endomorphisme de R3\R^3 associé.

1

Factoriser le polynôme caractéristique de AA.

2

Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de AA.

3

Démontrer qu’il existe une base de R3\R^3 dans laquelle la matrice de ff est B=(−100021002)B=\begin{pmatrix}-1 &0& 0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2\end{pmatrix} et trouver une matrice PP inversible telle que A=PBP−1A=PBP^{-1}.

4

Ecrire la décomposition de Dunford de BB (justifier).

5

Calculer exp⁡B\exp B.

Exercice ttM3

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