Soit \(A\) la matrice \[A=\begin{pmatrix}3&2&4 \\ -1&3&-1 \\ -2&-1&-3\end{pmatrix}\] et \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) associé.
1
Factoriser le polynôme caractéristique de \(A\).
2
Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de \(A\).
3
Démontrer qu’il existe une base de \(\R^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \[B=\begin{pmatrix}-1 &0& 0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2\end{pmatrix}\] et trouver une matrice \(P\) inversible telle que \(A=PBP^{-1}\).
4
Ecrire la décomposition de Dunford de \(B\) (justifier).
5
Calculer \(\exp B\).