Soit \(A=\Big(\begin{smallmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\1&0&1 \end{smallmatrix}\Big)\). \(\chi_{A}=(2-X)(\omega-X)(\bar\omega-X)\) donc \(A\) est diagonalisable sur \(\C\).

\(\ker(A-2I)=\C\Big(\begin{smallmatrix} 1\\1\\1 \end{smallmatrix}\Big)\)

\(\Big(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\Big)\in\ker(A-\omega I) \Leftrightarrow\Big\{\begin{smallmatrix} (1-\omega)x+y=0\\(1-\omega)y+z=0\\(1-\omega)z+x=0 \end{smallmatrix} \Leftrightarrow\big\{\begin{smallmatrix} y=(\omega-1)x\\z=(\omega-1)^{2}x \end{smallmatrix} \Leftrightarrow\big\{\begin{smallmatrix} y=\omega^{2}x\\z=\omega^{4}x \end{smallmatrix}\) donc \(\ker(A-\omega I)=\C\Big(\begin{smallmatrix}1\\\omega^{2}\\\omega^{4}\end{smallmatrix}\Big)\)

On en déduit que \(\ker(A-\bar\omega I)=\C\Big(\begin{smallmatrix}1\\\bar\omega^{2}\\\bar\omega^{4}\end{smallmatrix}\Big)\).

Ainsi en posant \(P=\Big(\begin{smallmatrix} 1&1&1\\1&\omega^{2}&\bar\omega^{2}\\1&\omega^{4}&\bar\omega^{4}\end{smallmatrix}\Big)\) on obtient \(P^{-1}AP=\Big(\begin{smallmatrix} 2&0&0\\ 0&\omega&0\\ 0&0&\bar\omega\end{smallmatrix}\Big)\)

On en déduit que les solutions sont les suites de la forme \(\Big(\begin{smallmatrix} x_{n}\\ y_{n}\\ z_{n} \end{smallmatrix}\Big)= P\Big(\begin{smallmatrix} 2^n&0&0\\ 0&\omega^{n}&0\\ 0&0&\bar\omega^{n}\end{smallmatrix}\Big) \Big(\begin{smallmatrix} a\\b\\c\end{smallmatrix}\Big) = P\Big(\begin{smallmatrix}2^na\\\omega^n b\\\bar\omega^nc\end{smallmatrix}\Big)\) soit : \(\Big\{\begin{smallmatrix} x_{n}=&2^na&+\omega^{n}b &+\bar\omega^{n}c\\ y_{n}=&2^na&+\omega^{n+2}b&+\bar\omega^{n+2}c\\ z_{n}=&2^na&+\omega^{n+4}b&+\bar\omega^{n+4}c\\ \end{smallmatrix}\) où \(a,b,c\) sont trois complexes.

En résolvant le système \(\Big\{\begin{smallmatrix} a+b+c&=2\\ a+b\omega^{2}+c\bar\omega^{2}&=1\\ a+b\omega^{4}+c\bar\omega^{4}&=1\\ \end{smallmatrix}\) on obtient la solution particulière cherchée, c’est la solution associée à \(a=4/3, b=c=1/3\) : \[\left\{\begin{array}{llll} x_{n}=&2^{n+2}/3 &+&2/3 \cos(n\pi/3)\\ y_{n}=&2^{n+2}/3 &+&2/3 \cos((n+2)\pi/3)\\ z_{n}=&2^{n+2}/3 &+&2/3 \cos((n+4)\pi/3)\\ \end{array}\right..\]

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