Etant donnés quatre nombres réels \((u_{0},v_{0},w_{0},x_{0})\), on définit quatre nouveaux nombres \((u_{1},v_{1},w_{1},x_{1})\) en calculant les moyennes suivantes : \(u_{1}= \frac{2u_{0}+ v_{0}+ w_{0}+ x_{0}}{5}\), \(v_{1}= \frac{ u_{0}+2v_{0}+ w_{0}+ x_{0}}{5}\), \(w_{1}= \frac{ u_{0}+ v_{0}+2w_{0}+ x_{0}}{5}\), et \(x_{1}= \frac{ u_{0}+ v_{0}+ w_{0}+2x_{0}}{5}\). En itérant ce procédé, on définit quatre suites \((u_{n})\), \((v_{n})\), \((w_{n})\), et \((x_{n})\) telles que pour tout \(n\in\N\) on ait : \[\left\{ \begin{array}{r@{\,}l} u_{n+1}&= \frac{1}{5} (2u_{n}+ v_{n}+ w_{n}+ x_{n}) \\[1.5ex] v_{n+1}&= \frac{1}{5} ( u_{n}+2v_{n}+ w_{n}+ x_{n}) \\[1.5ex] w_{n+1}&= \frac{1}{5} ( u_{n}+ v_{n}+2w_{n}+ x_{n}) \\[1.5ex] x_{n+1}&= \frac{1}{5} ( u_{n}+ v_{n}+ w_{n}+2x_{n}) \end{array} \right.\]
Ecrire la matrice \(A\) associée à cette relation de récurrence, et la matrice \(B=5A\). Que dire de la diagonalisabilité de \(B\) ?
Sans calculer le polynôme caractéristique de \(B\), montrer que \(1\) est valeur propre de \(B\). Quelle est la dimension de l’espace propre associé ? Que dire de la multiplicité de \(1\) comme valeur propre de \(B\) ?
En utilisant la trace de \(B\), déterminer toutes les valeurs propres de \(B\).
Donner un polynôme annulateur de \(B\) de degré 2.
En déduire l’existence de deux réels \(a_{n}\) et \(b_{n}\), que l’on calculera, tels que \(B^{n}=a_{n}B+b_{n}I\).
Calculer \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n}}{5^{n}}}\) et \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{b_{n}}{5^{n}}}\). En déduire que la suite de matrices \((A^{n})_{n\in\N}\) est convergente et donner sa limite.
(On rappelle qu’une suite de matrices \(M_{n}\) est dite
convergente si chaque suite de coefficient est convergente. On pourra
utiliser sans démonstration la continuité des opérations élémentaires
sur les matrices pour cette notion de limite, c’est à dire que :
- si \((\lambda_{n})\) est une suite convergente alors pour toute matrice
\(M\), la suite \((\lambda_{n}M)\) est convergente et
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\lambda_{n}M) =
(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n})M\)
- si \((M_{n})\) est une suite de matrices convergente alors pour tout
vecteur \(X\), la suite de vecteurs \((M_{n}X)\) est convergente et
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(M_{n}X) =
(\lim\limits_{n\rightarrow\infty} M_{n})X\).)
En déduire que les suites \((u_{n})_{n\in\N}\), \((v_{n})_{n\in\N}\), \((w_{n})_{n\in\N}\), et \((x_{n})_{n\in\N}\) sont convergentes, et donner leur limite.