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Ecrire la matrice $A$ associée à cette relation de récurrence, et la matrice $B=5A$. Que dire de la diagonalisabilité de $B$ ?

Sans calculer le polynôme caractéristique de $B$, montrer que $1$ est valeur propre de $B$. Quelle est la dimension de l’espace propre associé ? Que dire de la multiplicité de $1$ comme valeur propre de $B$ ?

En utilisant la trace de $B$, déterminer toutes les valeurs propres de $B$.

Donner un polynôme annulateur de $B$ de degré 2.

En déduire l’existence de deux réels $a_{n}$ et $b_{n}$, que l’on calculera, tels que $B^{n}=a_{n}B+b_{n}I$.

Calculer $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n}}{5^{n}}}$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{b_{n}}{5^{n}}}$. En déduire que la suite de matrices $(A^{n})_{n\in\N}$ est convergente et donner sa limite.

(On rappelle qu’une suite de matrices $M_{n}$ est dite convergente si chaque suite de coefficient est convergente. On pourra utiliser sans démonstration la continuité des opérations élémentaires sur les matrices pour cette notion de limite, c’est à dire que :
 - si $(\lambda_{n})$ est une suite convergente alors pour toute matrice $M$, la suite $(\lambda_{n}M)$ est convergente et $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\lambda_{n}M) = (\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n})M$
 - si $(M_{n})$ est une suite de matrices convergente alors pour tout vecteur $X$, la suite de vecteurs $(M_{n}X)$ est convergente et $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(M_{n}X) = (\lim\limits_{n\rightarrow\infty} M_{n})X$.)

En déduire que les suites $(u_{n})_{n\in\N}$, $(v_{n})_{n\in\N}$, $(w_{n})_{n\in\N}$, et $(x_{n})_{n\in\N}$ sont convergentes, et donner leur limite.